Hva er betinget sannsynlighet og hvordan beregnes det riktig?

Ofte i livet står vi overfor det som trengsvurdere sjansene for en hendelse. Hvorvidt det er verdt å kjøpe en lotteri-billett eller ikke, hva vil være det tredje barnets kjønn i familien, om det i morgen blir klart vær eller regn igjen? Det finnes utallige eksempler på slike eksempler. I det enkleste tilfellet skal antall gunstige utfall deles av totalt antall hendelser. Hvis det er 10 vinnende billetter i lotteriet, og bare 50 av dem, er sjansene for å få en premie 10/50 = 0,2, det er 20 mot 100. Og hva om det er flere arrangementer og de er nært beslektede? I dette tilfellet er vi ikke interessert i den enkle, men betingede sannsynligheten. Hva er denne verdien og hvordan den kan beregnes - dette er akkurat det som blir fortalt i vår artikkel.

Konseptet av

Den betingede sannsynligheten er sjansen for en offensiven viss hendelse, forutsatt at en annen hendelse som er knyttet til den allerede har skjedd. Tenk på et enkelt eksempel på å kaste en mynt. Hvis uavgjort ikke er ennå, er sjansene for at eagle eller haler faller de samme. Men hvis du bretter en mynt fem ganger på rad, så er du enig i å forvente den 6., 7. og enda mer, slik at den tiende gjentakelsen av et slikt utfall vil være ulogisk. Med hver repetisjon av ørens høst vokser sjansene for utseendet av haler, og før eller senere vil det falle ut.

Den betingede sannsynlighetsformelen

La oss nå forstå hvordan denne verdiener beregnet. Vi betegner ved B det første arrangementet, og det andre til A. Dersom sjansene for forekomst i den ikke-null, da det er rimelig til den følgende ligning:

P (A | B) = P (AB) / P (B) hvor:

• P (A | B) er betinget sannsynlighet for utfallet av A;
• P (AB) er sannsynligheten for felles forekomst av hendelser A og B;
• P (B) er sannsynligheten for hendelsen B.

Ved å konvertere dette forholdet, får vi P (AB) = P (A | B) * P (B). Og hvis du bruker induksjonsmetoden, kan du utlede produktformelen og bruke den til et vilkårlig antall hendelser:

P (A₁, A₂, A₃, ... A_n) = P (A₁| A₂... Og_n) * P (A₂| A₃... Og_n) * P (A₃| A₄... Og_n) ... P (A_n-1| A_n) * P (A_n).

praksis

For å gjøre det lettere å forstå hvordanDen betingede sannsynligheten for arrangementet er beregnet, vi vil vurdere et par eksempler. Anta at det er en vase der det er 8 sjokolade og 7 min. I størrelse er de de samme og tilfeldigvis trekkes de av hverandre. Hva er sjansene for at begge vil vise seg å være sjokolade? Vi introduserer notasjonen. La resultatet av A bety at det første candy er sjokolade, resultatet av B er det andre sjokolade candy. Da får vi følgende:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

La oss betrakte en ekstra sak. Anta at det er en to-barns familie, og vi vet at minst ett barn er en jente.

Hva er den betingede sannsynligheten for at gutterEr ikke disse foreldrene ennå? Som i det forrige tilfellet begynner vi med notasjonen. La P (B) - sannsynligheten for at en familie har minst en jente, P (A | B) - sannsynligheten for at det andre barnet er også en jente, F (AB) - Sjansene for at en familie på to jenter. Gjør nå beregningene. Det kan være 4 forskjellige kombinasjoner av mannlige og kvinnelige barn og på samme tid i bare ett tilfelle (når familien to gutter), vil jentene ikke være blant barna. Derfor er sannsynligheten P (B) = 3/4, og P (AB) = 1/4. Etter vår formel får vi:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Du kan tolke resultatet som følger: hvis vi ikke var klar over feltet b av ett av barna, vil sjansene for to jentene være 25 mot 100. Men siden vi vet at et barn er en jente, er sannsynligheten for at en familie av gutter der ute, stiger til en tredjedel.

</ p>